跟 GPT 学 AI：线性回归和逻辑回归代价函数解析

这段内容我不太理解，请通俗易懂的向我解释一下：

这段内容主要是解释两种不同的代价函数（Cost Function），用于线性回归和逻辑回归的区别。

1. 线性回归的代价函数：
   首先，对于线性回归（Linear Regression），代价函数（也叫损失函数）用于衡量模型预测值与实际值之间的差距。代价函数的公式是：

其中，$h_\theta(x^{(i)})$ 是模型的预测值，$y^{(i)}$ 是实际值，$m$ 是样本的总数。这个代价函数的核心思想是最小化预测值和实际值的平方差。

1. 逻辑回归的代价函数：
   逻辑回归（Logistic Regression）用于分类问题，它的代价函数不能直接使用线性回归的平方差代价函数。因为逻辑回归的输出是一个概率值（0到1之间），我们希望这个代价函数能够反映模型在分类任务中的表现。于是，引入了下面的代价函数：

其中，$Cost(h_\theta(x), y)$ 的定义为：

解释一下这个公式：

• 当实际值 $y = 1$ 时，我们希望预测值 $h_\theta(x)$ 越接近 1 越好，如果预测结果接近 0（错误分类），那么代价就会变得非常大（因为 $-\log(h_\theta(x))$ 会趋向无穷大）。
• 当实际值 $y = 0$ 时，我们希望预测值 $h_\theta(x)$ 越接近 0 越好，如果预测结果接近 1（错误分类），同样代价也会变得非常大（因为 $-\log(1 - h_\theta(x))$ 会趋向无穷大）。

3. 图的解释：
   右边的两幅图说明了代价函数的行为：

• 如果 $y = 1$，那么当 $h_\theta(x)$ 越接近 1，代价 $Cost(h_\theta(x), y)$ 越小。
• 如果 $y = 0$，那么当 $h_\theta(x)$ 越接近 0，代价 $Cost(h_\theta(x), y)$ 越小。

总之，这个代价函数帮助逻辑回归模型在训练过程中不断调整参数，以便最小化错误分类的概率。