跟 GPT 学 AI：Sigmoid

这里 e 的-z 怎么理解，他的值多大

在这段内容中，函数 $g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$ 是逻辑回归模型中的Sigmoid函数（也叫作S形函数）。这个函数将任何实数 $z$ 转换为一个在 0 到 1 之间的值，表示某个事件的概率。

Sigmoid函数的解释：

1. 公式：

   $$g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$

   其中，$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.718。

2. $e^{-z}$ 的含义：

   • $e^{-z}$ 代表的是一个指数函数。指数函数的特点是随着 $z$ 的变化，值会迅速变化。
   • 当 $z$ 很大时（例如趋向无穷大），$e^{-z}$ 会趋向于 0，所以 $g(z)$ 会趋近于 1。
   • 当 $z$ 很小或为负数时（例如趋向负无穷），$e^{-z}$ 会变得非常大，这时 $g(z)$ 会趋向于 0。
   • 当 $z = 0$ 时，$e^{-z} = 1$，因此 $g(0) = \frac{1}{2} = 0.5$。

3. Sigmoid函数的值范围：

   • 因为 $e^{-z}$ 的值总是正的（无论 $z$ 是正还是负），所以 $g(z)$ 的输出总是在 0 到 1 之间。
   • 这个特性非常适合用于逻辑回归，因为我们希望模型的输出是一个概率值（即在 0 和 1 之间）。

$e^{-z}$ 的值大小：

• 当 $z = 1$ 时: $e^{-1} \approx 0.3679$
• 当 $z = 0$ 时: $e^{-0} = 1$
• 当 $z = -1$ 时: $e^{-(-1)} = e^1 \approx 2.718$
• 当 $z = -2$ 时: $e^{-(-2)} = e^2 \approx 7.389$

总之，$e^{-z}$ 随着 $z$ 的增加而减小，随 $z$ 的减少而迅速增大，这使得 Sigmoid 函数可以有效地将任意输入 $z$ 转换成 0 到 1 之间的概率值。